n=0,1,2として色を白、赤、緑で描いてみました。
メリークリスmath

正四面体は正3角形が一つの頂点に3つ会しています。つまりp=3、q=3なので
（3,3）と表せます。以下同様に．．．

立方体（正六面体）
（4,3）

正八面体
（3,4）

正十二面体
（5,3）

正二十面体
（3,5）

このようにシュレーフリ記号を用いて正多面体を区別することができます。では．．シュレーフリ記号から多面体の諸量を求めることは出来ないでしょうか？実物の正多面体を見てシュレーフリ記号を求めるのではなく、シュレーフリ記号から、各多面体の面の数や辺、頂点等を求められないか？ということです。

オイラーの多面体定理とよばれる次の関係式を使って表すことが出来たので以下で紹介したいと思います。

オイラーの多面体定理について．．．

というものです。
簡単に説明すると．．たとえば立方体には面が6、辺が12、頂点が8ありますね。
６＋８−１２＝２で立方体についてこの式は成立します。次に、立方体を一つの頂点の周りで切断するとどうなるでしょう．．．まず、切り取られた頂点が無くなるかわりに、そこに面が出来ます。つまり頂点が減った分だけ面が増えるのでF+Vの値は変わりません。また、辺が切れたことで新たに3つの頂点と辺が表れますが、辺が増えた分と頂点が増えた分は等しいのでV-Eの値も一定です。これを繰り返していけばさまざまな立体が作れますが、結局V+F-Eの値は一定であることが分かります。

さて、各面が正p角形で各頂点にq個の面が会する正多面体にオイラーの多面体定理を用いてみます。

シュレーフリ記号から多面体の諸量を求める事が出来ました！
次回は外接球や内接球、表面積、体積、2面角の大きさ等について考えて見たいと思います。

となります。最低3つの面から頂点が作られるので．．．正六角形で頂点を作ることはできない事が分かります。120°×3=360°　つまり正六角形3つを合わせると平面となってしまいます。ここから正多面体の面となりうるのは正三角形、正方形、正五角形の3種類だけです。

また、各頂点に会する面の数は．．．
Nを3以上の自然数とすると
正三角形の場合で 　60°×N<360°　→　N= 3 , 4 , 5
正方形のの場合で 　90°×N<360°　→　N= 3
正五角形の場合で 　108°×N<360°　→　N=3
の5通りしかないことが分かります。つまり正多面体ができるとするなら．．．
構成面が正三角形で１つの頂点に面が3，4，5つ会する3種
構成面が正方形で１つの頂点に面が３つ会する1種
構成面が正五角形で１つの頂点に面が3つ会する1種
この5種類しかないことが分かります。

これをもう少し高校生らしく数学的に証明してみます。
※中学生も見てくれるかもしれないので角度の表記には弧度法ではなく度数法を用います。

以上で証明終了です。もちろんこれは必要条件であり正多面体が存在するならこの5種類以外には無いことを示しているだけで、この5種類の正多面体が実際に存在することを示す事が必要です。
それに関しては前回模型を作成したのですでに証明されていますよね！

正四面体

立方体（正六面体）

正八面体

正十二面体

正二十面体

どれも美しいですね。
正多面体はプラトンの立体とも呼ばれています。プラトンとは古代ギリシャの哲学者です。正多面体を発見したのがプラトンだったわけでは無いようですが、プラトンが活躍した古代ギリシャの時代に既に知られていたようです。
次回はこれららの立体について考えてみたいと思います。