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理工学部

2015.12.20

理工学部

センター試験数学IIB 第2問を素早く解くコツ その1

みなさんこんにちは

理工学部に伝わるセンター試験数学IIB 第2問を素早く解くコツを紹介します。
概要は...
センター試験数学IIB 第2問は微分法、積分法を含んだ関数の問題が出題されます。
良く知られている公式や図形の知識を利用する事で素早く解答(ほとんど暗算に近い感覚)する事が出来ます。
ここで紹介する方法は特殊なものではありません。巷で良く言われる「受験テクニック」「裏技」の類いでもなく、本当に基本的な内容や良く知られた公式の組み合わせにすぎません。人によっては「常識」「普通」と感じるかもしれませんが、意外と知らない方が多いのも事実です。ある問題を解く為に一般的・汎用的な方法をマスターする事はとても大切です。ただ、出題された問題の条件によっては汎用的な解法と比べて大幅に計算量を減らす方法があるとしたら、時間制限のある入試においては有効な方法といえます。

では、昨年度のセンター試験を例にみていきましょう
冒頭の部分
スクリーンショット 2015-12-07 2.45.08

平均変化率を求める計算ですが、普通に計算するなら
スクリーンショット 2015-12-07 2.49.16
ということになります。この計算が特に難しいわけでも無いのですが、次の公式を使うとより簡単な計算で解答する事が出来ます。
スクリーンショット 2015-12-07 2.54.17
y=ax^2..xの2乗に比例する形の場合に限ってですが、区間の両端の値を足して、比例定数をかけるだけで変化の平均変化率(変化の割合)を求める事が出来ます。今回の問題なら以下のようになります。これならほとんどの人が暗算で済むのでは無いでしょうか?
スクリーンショット 2015-12-07 2.57.22
解答欄の[ウ][エ]は微分の定義から明らかですね。[ウ]:0,[エ]:a

さて次の部分
スクリーンショット 2015-12-07 3.00.31
接線の方程式を求めます。(1)でx=aにおける微分係数...つまりx=aにおける接線の傾きが分かっています。ほとんどの人は
スクリーンショット 2015-12-07 3.02.59
と計算すると思います。次ぎにこの直線とx軸との交点を求めます。計算はこんな感じでしょうか?
スクリーンショット 2015-12-07 3.06.07
ここまでの計算もそれほど大変ではありません。ほぼ暗算で済ませられる人もいると思います。
以下の考え方を使えば更に計算量を減らせます(ほぼ無計算)。

放物線の2接線の交点
放物線上の異なる2点における接線の交点のx座標は2つの接点のx座標の平均となる

ffigggf

今回の問題はx軸が放物線の接線ですから、点Pにおける接線とx軸の交点は点Pのx座標の半分ということがすぐ分かります。下の図のように図形的に接線のy切片はPのy座標を負に変えたものになることがすぐにわかります。
fig2f

いかがですか?慣れていないと普通に解くよりも分かりにくい、面倒くさいと感じるかもしれませんが、少し慣れていれば問題を見た瞬間に頭の中で処理されてしまうので暗算というか見たままというか...ほぼ無計算で求めることが出来るようになります。
長くなったので今回はここまでにして、続きは次回にしたいと思います。

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